Stellenwertsystem
Das Dezimalsystem ist das gängige System, das bei uns im Alltag verwendet wird. Alle natürlichen Zahlen, mit denen wir rechnen, sind in dieser Form dargestellt. Man erkennt am unteren Bild, dass jede der drei Zahlen aus den gleichen Ziffern besteht.
Zahlen bestehen aus Ziffern. Die Zahlen, die wir bisher kennengelernt haben, können aus den Ziffern von 0 bis 9 gebildet werden. Wir rechnen im Zehnersystem, das auch Dezimalsystem genannt wird. Das System heißt Zehnersystem (Dezimalsystem), da in diesem System zehn Ziffern zur Verfügung stehen: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Die Zahlen dieses Systems nennen wir Dezimalzahlen.
Obwohl die gleichen Ziffern auftauchen, ergeben sich insgesamt drei verschiedene natürliche Zahlen. Denn: Der Wert einer Ziffer wird durch die Stelle (Einer, Zehner, Hunderter, Tausender…) bestimmt, an der die Zahl steht. Nachdem dies beim Dezimalsystem immer der Fall ist, handelt es sich um ein Stellenwertsystem.
Zahlen bestehen aus Ziffern. Die Zahlen, die wir bisher kennengelernt haben, können aus den Ziffern von 0 bis 9 gebildet werden. Wir rechnen im Zehnersystem, das auch Dezimalsystem genannt wird. Das System heißt Zehnersystem (Dezimalsystem), da in diesem System zehn Ziffern zur Verfügung stehen: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Die Zahlen dieses Systems nennen wir Dezimalzahlen.
Computer hingegen, die in kurzer Zeit Ergebnisse aus Rechnungen mit großen Zahlen liefern, können gar nicht mit zehn Ziffern rechnen. Computer rechnen in ihrem Inneren im Zweiersystem, das man auch Binärsystem oder Dualsystem nennt. In diesem System stehen zwei Ziffern zur Verfügung: 0 und 1. Die Zahlen dieses Systems nennen wir Dualzahlen.
Dezimalsystem
Das Dezimalsystem ist das am weitesten verbreitete Stellenwertsystem und verwendet zehn Ziffern von 0 bis 9. Jede Ziffer hat einen bestimmten Wert, der von ihrer Position im Zahlensystem abhängt. Zum Beispiel: Die Zahl 127 im Dezimalsystem besteht aus den Ziffern 1, 2 und 7. Dargestellt wird die Dezimalzahl auch als 12710. Die Ziffer 1 befindet sich an der Position 102, die Ziffer 2 befindet sich an der Position 101 und die Ziffer 7 befindet sich an der Position 100. Die Gesamtsumme ergibt sich zu 1 * 102 + 2 * 101 + 7 * 100 = 100 + 20 + 7 = 127.
Binärsystem
Das Binärsystem ist ein Stellenwertsystem mit nur zwei Ziffern: 0 und 1. Es wird vor allem in der Computertechnik verwendet, da digitale Schaltungen leicht zwischen den Zuständen "Ein" und "Aus" unterscheiden können. Zum Beispiel: Die Zahl 10110 im Binärsystem besteht aus den Ziffern 1, 0, 1, 1 und 0. Die Ziffer 1 ganz links befindet sich an der Position 24, die nächste Ziffer 0 befindet sich an der Position 23, die nächste Ziffer 1 befindet sich an der Position 22, die Ziffer 1 ganz rechts befindet sich an der Position 21 und die Ziffer 0 ganz rechts befindet sich an der Position 20. Die Binärzahlen werden gerne auch in der Form dargestellt 101102. Hier ein Beispiel für eine Umrechnung der Binärzahl in eine Dezimalzahl.
Beispiel Binärzahl zu Dezimalzahl 101102
Beispiel Dezimalzahl 19010 zu Binärzahl
Addition von Binärzahlen
Eine Binärzahl besteht aus nur zwei Ziffern, nämlich 0 und 1. Daher gelten bei der Addition von Binärzahlen 4 bestimmte Regeln:
Wollen wir folgende Addition durchführen: 10012 + 1002, so können wir wie gewohnt die schriftliche Addition verwenden:
Es gibt auch Addition, die einen Übertrag erfordern. Nehmen wir als Beispiel: 11002 + 11012. Die Addition erfolgt wie gewohnt mit der Üntereinanderschreibweise.
Das Ergebnis ist also 110012. Dabei wurde bei der Addition von 1 + 1 ein Übertrag auf die nächste Stelle von 1 (nach links) vorgenommen.
Nehmen wir ein zweites Beispiel, und zwar die Addition von 10012 + 11112.
Überprüfung des Ergebnisses der Addition!
Überprüfen wir doch das Ergebnis, in dem wir alle Binärzahlen in Dezimalzahlen umrechnen.
10012 + 11112 = 110002
Einzeln umgerechnet:
10012 = 1·23 + 0·22 + 0·21 + 1·20 = 910
11112 = 1·23 + 1·22 + 1·21 + 1·20 = 1510
110002 = 1·24 + 1·23 + 0·22 + 0·21 + 0·20 = 2410
Wir haben also nichts anderes als: 910 + 1510 = 2410 , also (9 + 15 = 24), genauso wie auch unsere obige Rechnung im Binärsystem.
Hexadezimalsystem
Das Hexadezimalsystem ist ein Stellenwertsystem mit 16 Ziffern: 0-9 und A-F.
Es wird oft in der Informatik verwendet, da es eine kompakte Darstellung von Binärzahlen ermöglicht.
Beispiel Hexadezimalzahl 1A316 zu Dezimalzahl
Die Zahl 1A316 im Hexadezimalsystem besteht aus den Ziffern 1, A und 3.
Die Ziffer 1 befindet sich an der Position 162, die Ziffer A befindet sich an der Position 161 und die Ziffer 3 befindet sich an der Position 160. Die Gesamtsumme ergibt sich zu 1 * 162 + 10 * 161 + 3 * 160 = 256 + 160 + 3 = 419.
Ein ausführliches Lernvideo zu Hexadezimalzahlen-Umrechung findest du hier.
Rechenkontrolle
Übungsaufgaben zu Stellenwertsystemen
Hinweis: Alle Ergebnisse und Zwischenergebnisse müssen in Moodle abgegeben werden.
